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कार्य-ऊर्जा प्रमेय क्या है?

कक्षा 11 भौतिकीNCERT अध्याय: कार्य, ऊर्जा और शक्तिRead this in English

परीक्षा के लिए तैयार उत्तर

कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार किसी कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर लगे कुल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है: K_f − K_i = W. यहाँ गतिज ऊर्जा K = ½mv² है। अगर कुल बल धनात्मक कार्य करे तो पिंड की चाल बढ़ती है, और ऋणात्मक कार्य करे तो चाल घटती है।

विस्तार से समझें

एकसमान त्वरण वाले गति के समीकरण से शुरू करते हैं: v² − u² = 2as, जहाँ u प्रारंभिक चाल, v अंतिम चाल और s विस्थापन है। दोनों तरफ़ m/2 से गुणा कीजिए। इससे ½mv² − ½mu² = mas मिलता है। न्यूटन के दूसरे नियम से ma कुल बल F है, इसलिए दायाँ पक्ष Fs बन जाता है, जो विस्थापन s में कुल बल द्वारा किया गया कार्य है।

इस तरह ½mv² − ½mu² = Fs, यानी K_f − K_i = W. यहाँ ½mv² पिंड की गतिज ऊर्जा है, जो एक अदिश राशि है और जूल (J) में मापी जाती है। परिवर्ती बल के लिए भी यह प्रमेय सही है, तब कार्य पूरे रास्ते पर F dx का समाकलन करके निकाला जाता है। असल में यह न्यूटन के दूसरे नियम का समाकलित रूप है, जो बल और विस्थापन को सीधे चाल के बदलाव से जोड़ता है।

उदाहरण: चलती कार ब्रेक लगाकर रुकती है। घर्षण बल विस्थापन की उलटी दिशा में लगता है, इसलिए वह ऋणात्मक कार्य करता है। यह ऋणात्मक कार्य कार की गतिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर होता है। इसी तरह गिरती बारिश की बूँद पर गुरुत्व धनात्मक कार्य और हवा का प्रतिरोध ऋणात्मक कार्य करता है; दोनों का कुल कार्य बूँद की गतिज ऊर्जा के बदलाव के बराबर होता है।

याद रखने योग्य बातें

कथन: किसी कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन, उस पर कुल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
सूत्र: K_f − K_i = W, जहाँ गतिज ऊर्जा K = ½mv²।
प्रमाण: v² − u² = 2as को m/2 से गुणा करके और ma की जगह F रखकर।
कार्य और गतिज ऊर्जा अदिश राशियाँ हैं; SI मात्रक जूल है (1 J = 1 N m)।
धनात्मक कुल कार्य से चाल बढ़ती है; ऋणात्मक कार्य (जैसे घर्षण) से चाल घटती है।

परीक्षा टिप

तीन लाइन का प्रमाण ज़रूर दिखाइए: v² − u² = 2as, फिर m/2 से गुणा, फिर ma की जगह F. आख़िर में K_f − K_i = W को बॉक्स में लिखकर SI मात्रक जूल बताइए।

छात्र यह भी पूछते हैं

किसी बल द्वारा किया गया कार्य क्या होता है?

स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य W = Fd cos θ होता है, जहाँ F बल, d विस्थापन और θ दोनों के बीच का कोण है। θ नब्बे डिग्री से कम हो तो कार्य धनात्मक, ठीक नब्बे डिग्री पर शून्य और उससे ज़्यादा हो तो ऋणात्मक होता है।

क्या परिवर्ती बल के लिए भी यह प्रमेय लागू होता है?

हाँ। परिवर्ती बल के लिए कार्य प्रारंभिक से अंतिम स्थिति तक F dx का समाकलन होता है। F = m dv/dt और dx = v dt रखने पर यह समाकलन ½mv² − ½mu² के बराबर आता है, यानी गतिज ऊर्जा का परिवर्तन।

एकसमान चाल से वृत्त में घूमते पिंड की गतिज ऊर्जा क्यों नहीं बदलती?

अभिकेंद्र बल हमेशा वेग के लंबवत होता है, इसलिए बल और विस्थापन के बीच कोण नब्बे डिग्री रहता है और किया गया कार्य शून्य होता है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय से शून्य कार्य का मतलब है गतिज ऊर्जा में कोई बदलाव नहीं, इसलिए चाल स्थिर रहती है।

अध्याय के नाम से अपनी किताब में विषय खोजें और अपने संस्करण से मिलान करें; नाम और क्रम बदल सकते हैं। ये Know.it की व्याख्याएँ हैं, आधिकारिक NCERT समाधान नहीं।